КАК НАУЧИТЬ РЕБЕНКА СЧИТАТЬ

Особенности математического восприятия дошкольника

Для того чтобы наши занятия шли малышу только на пользу, необходимо представлять его реальные возможности и потребности. Мы должны понимать, что мыслительный аппарат у маленького ребенка еще незрелый, и он не умеет полноценно обобщать и делать выводы. Так двухлетний малыш может, тыча пальчиком в предметы, последовательно произносить:

— Один, два, три, четыре.

Тем не менее, на вопрос: «Сколько всего предметов?» — ребенок ответить пока не может. Лишь в три с половиной-четыре года ребенок готов к началу осмысленного, а не механического обучения математике. Он уже способен научиться складывать и вычитать в уме числа в пределах пяти, но проделывать те же действия с большими числами, обычно до четырех-четырех с половиной лет малышу еще не по силам.

Для детей дошкольного возраста совершенно нормально считать, что любое математическое действие верно только в данный момент и только с этими предметами. Малыши считают, что, если раздвинуть предметы – их станет больше, а если их поставить поближе друг к другу, то их станет меньше. Если перенести или изменить положение предметов, то их число тоже изменится. Малыш, складывая 4 и 3, обязательно пересчитает все предметы сначала:

— 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, — и только после этого даст ответ.

Ребенок же более зрелый станет считать и рассуждать иначе:

— Здесь 4 предмета, значит 4 + 1 + 1 + 1 = 7.

Объем и вес предметов малыш тоже представляет не совсем правильно. Дошкольник считает, что сплюснутая конфета стала меньше, а вытянутая больше, и что вата всегда легче железа, так как он опирается на свои ощущения, а не на непонятные показания весов.

Первым такие особенности развития дошкольников заметил и описал французский психолог Жан Пиаже. Их так и называют в его честь «феномены Пиаже».

Многие из этих феноменов в процессе роста и обучения ребенка ослабляются к 6-7 годам, но часть из них сохраняется до 9-10 лет. Несмотря на это, все дети к школе могут научиться считать, складывать, вычитать и решать несложные задачи.

С чего начинается математика

Любое обучение проходит три этапа: привыкание, понимание и осмысленное запоминание. При этом математика не должна быть чем-то отвлеченным, а естественной частью жизни ребенка, иначе он скоро забудет все, чему мы его научили.

Сначала, играя и разговаривая с ребенком, учим его сравнивать предметы и их свойства, отличать большую вещь от маленькой, длинную от короткой, тяжелую от легкой, круглую от прямоугольной и многое другое.

Обычно, еще до того, как ребенок сможет осмыслить, что такое простой счет, мы в разговоре с ним упоминаем числа и математические понятия:

— Жили-были три медведя.

— У тебя ведь много игрушек. Поделись с Сережей!

— Твое ведерко меньше, чем мое.

— Дай, пожалуйста, Маше одного поросенка, а другого возьми себе.

— Ты хочешь один играть или пойдешь со мной?

— У тебя две ручки – значит, и рукавичек было две. Где вторая рукавичка?

— Подожди пять минут, пожалуйста.

Вместе со стихами Агнии Барто детям обычно предлагают выучить считалочку про зайчика.

В результате, большинство детей после трех с половиной лет умеют считать, и даже складывать, и вычитать в пределах четырех-пяти. Однако они могут об этом не знать, и им нужно помочь проявить свои познания, но сначала ребенок должен научиться считать осмысленно, а не механически.

Развитие пространственного мышления

Пространственное мышление проявляется достаточно рано. Так двух-трехлетний малыш уже способен показать дорогу домой или в детский сад. К пяти годам ребенок может выложить с помощью кубиков, а позже, нарисовать, план своей комнаты или детской площадки «с натуры». К школе ребенок уже легко представляет в уме, что находится сзади него, что слева, что справа, а что впереди. Может по памяти нарисовать план комнаты, детской площадки или другого места. Способен ответить на следующие вопросы: кто из ребят стоит в этом ряду третьим справа от тебя? кто в этой шеренге стоит вторым слева?

Однако чтобы ребенок проявил свои способности, необходимо его заинтересовать. Увлекательнее выполнять задания не просто так, а для кого-то или чего-то, например, нарисовать цветными фломастерами дорогу в магазин для бабушки, а для папы — в детский сад.

Для того чтобы подготовить ребенка к изучению геометрии, мало научиться различать несколько геометрических фигур. В первую очередь нужно попытаться развить у него представление о пространстве. Ребенок должен хорошо овладеть такими понятиями как: верх, низ, над, под, между, около, рядом, спереди, сзади, вперед, назад, слева, справа, внутри, снаружи и пр.

Эти слова легко вставить в любые детские игры. Так, играя в кубики, можно попросить малыша вставить между красным и синим брусочком желтый или посадить перед домом деревья, а сзади дома устроить качели.

Можно поиграть и в такую игру. Ведущий предлагает выполнить его инструкции, чтобы найти спрятанную игрушку:

— Стань спиной к стене. Сделай один шаг вперед. Сделай два шага влево и три прыжка назад. Проползи под столом. Пройди между Мишкой и Зайкой. Теперь посмотри вверх. Видишь перед тобой полка, а на ней стоит коробочка? Проверь, кто сидит позади коробочки. Молодец, нашел!

Количество и сложность инструкций увеличиваем постепенно, ориентируясь на возможности и интерес ребенка. Такие занятия полезны и для развития внимания, особенно, если добавить в них еще одну полезную инструкцию:

— Стоп! Остановись и подумай.

Она будет помогать нам всегда, когда ребенок станет торопиться или ошибаться.

После того как малыш немного привыкнет к таким играм, можно поиграть в них с игрушками.

Важно, чтобы ребенок во всех наших играх мог быть то ведущим, то исполнителем. Пусть он задает не только игрушкам, но и нам, взрослым, задания и следит за правильностью их исполнения, это научит его четче выражать свои мысли, подчиняться условиям игры и быть внимательным.

Часто дети, прекрасно различающие нужные слова в быту, теряются, когда нужно применить их в математических заданиях.

• «Костя никак не мог понять, какое число стоит в числовом ряду перед тройкой или четверкой, а какое после. Наконец, он вовсе перестал отвечать на подобные вопросы. Чтобы облегчить ему задачу, я решила частично вернуться к игрушкам. Расставила первые пять цифр по порядку, а между ними поставила маленькие игрушки.
• Теперь я задавала вопросы, с его точки зрения, про игрушки, а не про цифры:
• — Какая машинка стоит между тройкой и четверкой?
• — Кто стоит перед двойкой?
• — Кто притаился после тройки?
• Костина апатия мгновенно пропала, и его ответы стали вылетать чуть ли не быстрее, чем я спрашивала. Затем я убрала почти все игрушки, но его воодушевление не пропало – он разобрался в том, что так долго не мог постичь и теперь радовался своему открытию».

Для объяснения нового материала можно использовать крайне упрощенные задания, и пусть нас не беспокоит, что, на наш взрослый взгляд, ребенку уже не осталось над чем подумать. Это даст ему возможность найти знакомую ассоциацию и составить собственную картинку решения задачи, которая будет помогать ему в будущем при выполнении всех подобных заданий.
 

Изучаем язык математики

• — Посмотрите, пожалуйста, сколько шариков в моей коробке и положите в свою коробку равное количество шариков, то есть столько же, — начинаю я приучать Машу и Костю к математическому языку. — Молодцы! Теперь сделайте башенку, равную моей, по высоте.
• Мне кажется, что дети постарше могли бы посчитать наши простые игры скучными, но Маше и Косте только по четыре года, и их это занимает не меньше, чем кормление кукол и катание машинок.
• Считают малыши пока охотнее на пальцах, но зато не путают, когда нужно сложить, а когда вычесть.
• — Посмотрите, у меня коробка с мандаринками. Две мандаринки я кладу на стол. Скажите, что я делаю, вычитаю или складываю?
• — Ты вычитаешь! — бойко отвечает Костя.
• — Правильно! Смотрите, я достаю еще одну мандаринку из коробки и кладу ее на стол. Что я теперь делаю?
•  — Снова вычитаешь мандаринки, — не отстает от друга Маша.
•  — Откуда я вычитаю: из мандаринок в коробке или из тех, которые лежат на столе? — задаю я «хитрый» вопрос, но их уже не проведешь:
•  — Из тех, что в коробке, ты вычитаешь, а те, что лежат на столе, ты складываешь, — перебивая друг друга, торопятся ответить малыши.
• — Если вы оба уйдете, то вы «вычтитесь» или «прибавитесь»? — задаю я полушутливый вопрос.
•  — «Вычтемся», — смеется Маша, — а когда вернемся, снова к вам «прибавимся».

Некоторые дети неплохо складывают и вычитают, но задачи решать не умеют.

Часто это происходит из-за того, что они плохо понимают смысл слов, используемых в задачах.

Надо обращать внимание ребенка на то, что слова: забрать, отобрать, потерять и т.д., обычно означают уменьшение того, что уже есть, то есть вычитание, а слова добавить, принести, притащить — обычно означают увеличение, то есть сложение. Важно, чтобы ребенок хорошо различал, где именно уменьшается, а где увеличивается. Например, у того, кто дарит конфеты, их становится меньше, а у того, кто получил подарок, количество конфет увеличивается. Дети постарше могут сами придумать синонимы к этим словам.

В текстах школьных задач встречается множество довольно сложных слов и выражений. Ребенок, с плохо развитой или недостаточно осмысленной речью, не может сосредоточиться на арифметической части задания, так как не представляет, что происходит в задаче. Например, ребенку нужно решить такую простую задачу: Крестьянин вспахал 3 участка под гречиху, а засеял только один. Сколько участков ему осталось засеять?

Если ребенок не знает слов: крестьянин, пахать и сеять, это может озадачить его настолько, что он не сможет решить эту задачу.

Во избежание подобных трудностей полезно также время от времени предлагать читающим дошкольникам и младшим школьникам читать и обсуждать задачи из школьных учебников по математике, не пытаясь пока их решать.

К некоторым математическим понятиям можно подготовить ребенка заранее.

Например, еще до того как придет время изучать в школе площадь геометрических фигур, ребенок легко запомнит, что площадь или площадка – это плоская поверхность, такая как на полу или на столе.
 
В обычной речи дети часто не вникают в смысл поясняющих слов и поэтому плохо их понимают. При чтении задач их могут затруднять обычные слова и словосочетания, такие как: который, каждый, некоторые, когда, одновременно, одинаковый, равный, такой же, столько же, различный, разный, предыдущий, последующий, сначала, предварительно, перед тем как, после того как, снизилась, увеличить, уменьшить, при увеличении, при уменьшении, содержит, составляет, дополнительно, сколько, в том числе, на сколько больше или меньше и другие. Такие ребята обычно затрудняются в решении задач, и, если им вовремя не помочь, они могут начать считать себя неспособными к математике.

Если читать и обсуждать с ребенком хорошие книги и использовать подобные слова в наших занятиях, то этих сложностей у ребенка не возникнет. Вот несколько примеров употребления таких слов:

— Машенька для прогулки каждый раз выбирает разные места. Сегодня она бродила по парку, вчера играла на детской площадке, а завтра она собирается пойти в детский скверик. Скажи, пожалуйста, где гуляла Маша до того, как она отправилась в парк? После того как Маша погуляет в парке, где она будет гулять? Что случилось раньше, а что позже? Что уже случилось, а что еще нет?

— Равный, столько же, различный, одинаковый, такой же. Какое из этих слов и выражений лишнее и почему?

— Раздай, пожалуйста, яблоки каждому, сидящему в этой комнате, а груши — только женщинам. Если я дам тебе яблок и груш поровну, то сколько яблок тебе понадобится дополнительно?


Осмысление счета в игре и движении

• "Оленька охотно все пересчитывает и знает, сколько всего предметов, и все-таки я не уверена, что Оленька считает достаточно осмысленно.
• Чтобы счет стал осмысленнее, мы с Оленькой слегка преобразили  известный стишок:
• Мы делили апельсин,
• Много нас, а он – один.
• Эта долька – для ежа – раз.
• Эта долька – для чижа – два.
• Эта долька – для котят – три.
• Эта долька — для утят – четыре.
• Эта долька — для бобра – пять.
• А для волка – кожура!
• Разозлился волк — беда,
• Разбегайтесь кто куда!"

Осмысление счета — иногда достаточно трудный процесс и может потребовать довольно много времени, поэтому мы, не торопясь и не расстраиваясь, пробуем все новые приемы и игры.

• "Снова пыталась приблизить Оленьку к осмыслению счета.

  Сначала выстроила четыре игрушки одну за другой в очередь. Затем мы их пересчитали и у каждой положили порядковую цифру. Потом обсудили, какое животное стоит до, а какое после, например, зайчика. Я старалась задавать четкие вопросы:

  — Кто стоит перед зайчиком? Кто стоит после зайчика?

  Потом вспомнили мультик про козленка, который умел считать до 10, и снова всех пересчитали:

  — Собачка — 1, зайчик — 2, лиса — 3, котик — 4.

  И только после этого я стала спрашивать:

  — После единицы какое число стоит? Перед 2 какое число стоит?
  Оленька четко ответила на оба вопроса, но так как обычные десять минут наших занятий подошли к концу, нам пришлось прерваться".

Только когда ребенок сможет четко без ошибок сказать, какое число стоит впереди любого из пяти первых чисел, а какое сзади, можно считать, что он понимает, что делает и переходить к осмыслению счета до десяти и параллельно осваивать сложение и вычитание.

Как лучше представить число

Для того чтобы ребенок хорошо различал разные числа, в его сознании должны возникнуть образы этих чисел. Конечно, ребенок и без нас может создавать эти образы, но мы можем помочь ему найти более подходящие и емкие. Лучше всего для этого подходят цветные точки крупного детского домино. Впрочем, и их можно заменить шариками, зайчиками или ромашками. Главное, чтобы предметы были достаточно мелкими, и их можно было при желании представить как точки домино. Согласитесь, что представить число пять легче, если оно изображено компактно в виде мелких предметов, поэтому ничего удобнее, чем изображения на домино, и придумать невозможно.

Однако у ребенка есть большая потребность все потрогать и во всем убедиться самому, поэтому мы с детьми начали изготовлять из быстро застывающего пластилина дополнительное пособие, которое назвали «математическими шариками». Это несколько небольших четырехугольников, каждый с пятью углублениями для шариков. Круглые лунки расположены в том же порядке, что и точки на домино. В каждое углубление можно вставить шарик (или другую удобную фигуру). Можно перекладывать шарики на другой, такой же четырехугольник, и заметить, как выглядят одинаковые числа, или подумать, что сделать, чтобы эти числа были равны.

Наглядность пособия и то, что ребенок может своими руками превратить одно число в другое, очень помогает ему легче осознать, чем отличаются разные числа. На данном этапе это очень важная задача. Именно этим отличается ребенок, который умеет считать, от ребенка, который просто запомнил числа без всякого понимания и реально считать не может.

Формируем образы чисел от 1 до 5

Эту важную в обучении малышей тему делим на четыре ступени.

1. Запоминаем, как выглядят числа от одного до пяти. Учимся считать до пяти и привыкаем к правильной раскладке чисел в квадратах в виде точек домино.

Обучающий:

— Это домики. В них живут шарики-зайчики. Давай посчитаем, сколько шариков-зайчиков живет в каждом домике.

После этого обучающий предлагает ребенку заселить и другой домик с таким же числом персонажей и в таком же порядке.

2. Переводим пассивные знания в активные. Для этого поиграем в нашу любимую игру: «Угадай, что я спрятал». Она поможет малышу научиться узнавать, сколько шариков размещено на одном квадратике, даже не пересчитывая, и запомнить каким цифрам соответствует данное количество шариков.

Начинать лучше с двух четырехугольников, которые в игре можно называть разными, более приятными для слуха ребенка названиями, например, домиками или машинками. Можно, конечно, для этого дооформить наши квадратики крышей или колесами, но у малышей обычно такое хорошее воображение, что достаточно сказать, что этот квадратик теперь ковер-самолет и они его уже видят. Еще нам понадобятся пластмассовые цифры, пока от 1 до 5.

Ход игры может быть примерно такой:

— Посмотри, у меня два домика. В каждом живут эти цветные шарики. Сколько красных шариков живет в первом домике, и сколько желтых шариков во втором? Правильно, в первом домике живут 3 шарика, а во втором – четыре. Теперь на домик наползла тучка (листок бумаги). Сколько шариков спряталось под тучкой? Верно, тучка закрыла домик с тремя шариками. Теперь найди в коробке цифры 3 и 4 и положи тройку рядом с домиком, в котором живут три шарика, а четверку куда положим? Конечно, рядом с домиком, в котором живут 4 шарика.

Постепенно количество спрятанных «домиков» доводим до 3-4, не забывая придумывать все новые сюжеты игры. Например, как-то наши квадратики превратились в морские корабли, а шарики — в матросов. Часть кораблей спряталась за скалу, и пришлось срочно вспоминать, сколько матросов на каждом корабле нужно было спасти.

Для большей наглядности предложим ребенку закрыть глазки и по памяти рассказать, как выглядит какое-то число, а затем открыть глаза и нарисовать его на бумаге или набрать самому на квадратике.

3. Закрепление материала. На данной ступени полезно научиться играть и в саму игру «домино». Играем открыто, переворачивая все костяшки точками вверх. Каждый игрок кладет свою костяшку и громко озвучивает количество точек, например: «пять – три». Хорошо, если в игре примут участие и плюшевые игрушки. Мы с ребенком можем делать ходы и за них. Выигрывает тот, у кого кончились костяшки или их меньше осталось.

Разумеется, взрослый выигрывает очень редко – иначе игра быстро надоест.

Еще одна веселая игра с воображаемой бабой Ягой. Обучающий выкладывает числовой ряд от одного до пяти, затем отвлекает ребенка и нарушает порядок расположения цифр.

Обучающий:

— Баба Яга снова перепутала все цифры. Ты сможешь все исправить?

Ребенок знает, что это игра, и баба Яга воображаемая, но радостно нам подыгрывает:

— Смотри, баба Яга. Мы все цифры снова на место поставили!

4. Углубление осмысления понятий: поровну, одинаковое количество, столько же и чем отличаются числа.

Берем три квадратика и раскладываем так, чтобы на двух из них было одинаковое количество шариков, например по 3, а на третьем другое, например, 4.

— Посмотри, это три гнездышка. В них сидят воробушки. В каком гнездышке воробушков столько же? А в этих двух поровну? Что надо сделать, чтобы в них стало одинаковое количество птенчиков? Правильно, одного убрать!

Предлагаем ребенку «догадаться», чем отличаются три точки от двух, две от четырех и т.д.

Ответ, несомненный для взрослого, не так очевиден для ребенка. Ребенок должен ответить примерно так:

— Три отличается от двух одной точкой.

При помощи костяшек цветного домино можно сделать игру сложнее и интереснее. Сравнить точки домино по трем признакам: по цвету, расположению и количеству точек.


Готов ли ребенок к занятиям математикой

Теперь попробуем узнать, умеет ли наш ребенок складывать и вычитать, хотя бы в пределах трех. Ведь нам кажется, что мы его этому не учили.

Выкладываем перед ребенком какой-то предмет, например, машинку и задаем первый вопрос:

— Сколько здесь машин?

— Одна, — отвечает малыш.

— Если я добавлю еще одну, то сколько станет? – спрашиваем мы, но пока ничего не добавляем. Нам важно, чтобы он представил два предмета в уме.

— Две, — отвечает малыш.

Только теперь мы выкладываем второй предмет и предлагаем ребенку убедиться, что он прав.

— Теперь, ты знаешь, что здесь две машинки, а если одна уедет в гараж, то сколько останется? – спрашиваем мы снова, ничего не убирая.

Если ребенок ответил верно, то переходим к числу три. Также сначала в уме, а затем реально предлагаем прибавить одну машинку к двум, а затем вычесть из трех полученных машинок одну. После того как малыш справился и с этим заданием, можно считать, что он готов учиться складывать и вычитать в пределах пяти.
 

• «Итак, мы подошли к освоению числа «4». Придумали двустишье:
• «У стола 4 ножки,
• 4 ножки и у кошки».
• Оленьке понравилось.
• Затем пересчитали ножки у мебели. Назавтра я уже спрашивала у Оленьки: «Сколько лапок или ножек у кошки, собаки, козы?» Оленька отвечала правильно. Тогда я спросила:
• — Скажи, пожалуйста, а сколько ножек у курицы?
• — Только две, – ответила Оленька.
• Я убедилась, что Оленька действительно все поняла и усложнила задачу:
• — У кошки 4 ножки. Сколько сапожек нужно кошке?
• Оленька стала мысленно вслух пересчитывать лапы кошки и снова ответила верно».

  
Математические подвижные игры

• «Иногда к нашим занятиям присоединялся Олин дружок  Юра. Они уже умели немного складывать и вычитать, но для того чтобы ребята лучше осознали отличие сложения от вычитания, мы решили немного вернуться назад. Я вспомнила, как на прогулке Оля с Юрой с азартом прыгают по лестнице, пересчитывая ступеньки, и предложила им попрыгать по музыкальной дорожке с цифрами. Сначала они прыгали вперед, с цифры на цифру, от 1 до 10, каждый раз приговаривая:
• — Прибавляем еще один — получится ...
• Затем в обратную сторону от 10 к 1, приговаривая:
• — Вычитаем еще один — получится ...
• Игра так полюбилась детям, что Юра теперь, как ни зайдет, с порога спрашивает:
• — Сегодня прыгать и считать будем?
• Когда, ребята перестали ошибаться, прибавляя и вычитая единицу, то стали вперед и назад считать двойками:
• — Два, прибавляем один и еще один — четыре, прибавляем один и еще один — шесть ... »

Подобный коврик может помочь и нам. Его можно купить или сделать самим, нарисовав на ткани или на бумаге 10 клеток с первыми десятью числами цифрового ряда от 1 до 10. Ниже описаны несколько игр, которые особенно нравятся малышам.

1. Игра поможет малышу научиться осмысленно считать от одного до десяти и обратно. Безусловно, прыгать с кем-то по очереди интереснее.
— Один, два, три, четыре, пять — пять, четыре, три, два, один, — проговаривает малыш, прыгая с цифры на цифру туда и обратно. Для разнообразия можно прыгать то на одной ножке, то на двух или еще как-нибудь. Со временем доводим число клеток до десяти.
Когда ребенок запомнит порядок счета, можно попросить его снова посчитать вслух, но с закрытыми глазами.    

2. Эта игра поможет ребенку приблизиться к пониманию, что такое сложение и вычитание.
Теперь малыш прыгает с клетки на клетку со словами:
— Один, прибавляем один — два. Два, прибавляем один — три. Три, прибавляем один — четыре. Четыре, прибавляем один — пять. Пять, вычитаем один — четыре. Четыре, вычитаем один — три. Три, вычитаем один — два. Два, вычитаем один — один, — тщательно проговаривает малыш, прыгая с цифры на цифру туда и обратно.

3. Еще одна игра, которая также воспринимается детьми как веселое развлечение. Несмотря на это, она на редкость наглядно показывает, как меняются числа с прибавлением или вычитанием единицы.

Ребенок прыгает с клетки на клетку с «лукошком» и достает из него и кладет на каждую клетку по одной ягодке (или другой игрушке), проговаривая:

— 1 ягодка, прибавляем 1, получится 2 ягодки; 2 ягодки, прибавляем 1, получится 3 ягодки; 3 ягодки, прибавляем 1, получится 4 ягодки; 4 ягодки, прибавляем 1, получится 5 ягодок.

Затем в обратную сторону, при каждом прыжке собирая по одной ягодке:

— 5 ягодок, вычитаем 1, останется 4 ягодки; 4 ягодки, вычитаем 1, останется 3 ягодки; 3 ягодки, вычитаем 1, останется 2 ягодки; 2 ягодки, вычитаем 1, останется 1 ягодка; 1 ягодка, вычитаем одну, ничего не останется – ноль.

Сначала ребенок не понимает, что он уже прибавляет и вычитает единицу, он только привыкает к этим понятиям, понимание придет позже.

 «Бабушка! – просит Катюшка на прогулке, — давай в числа играть. Я пятерка, а ты четверка.
 — Хорошо, — соглашаюсь я, — так кто первый?
 — Я, конечно, я же больше! – забегает девочка вперед.
 — Тогда я теперь семерка, — говорю я и становлюсь впереди Кати.
 — А я уже десять, — говорит Катя и снова становится впереди.
 — Ладно, — говорю я, – тогда давай играть, кто меньше. Я – семерка!
 — А я шестерка, снова забегает вперед Катюшка.
 Малышке эта игра очень нравится, так как в ней чувствуется некое соперничество».

Очень хорошо, когда не мы, а ребенок становится инициатором занятий. Иной раз полезно отложить свои собственные «взрослые» дела, чтобы ребенок мог ощутить важность своих маленьких дел.

Эта потрясающая единица
Первое, что мы стараемся объяснить ребенку, это чудесные свойства единицы. Причем единица, в понимании ребенка, не абстрактна, за ней стоит один предмет, даже, если мы это не озвучиваем. Удобнее всего, чтобы ребенок, произнося: 1, 2, 3 и т.д., представлял шарики или точки домино.

Ребенок уже усвоил, что когда мы прибавляем 1, то получаем следующее порядковое число, когда вычитаем 1, то получаем предыдущее порядковое число. Теперь мы вместе пытаемся понять, что прибавить или вычесть 2, — значит прибавить или вычесть 1 и еще 1; прибавить или вычесть 3 — значит прибавить или вычесть сразу или по очереди три единички и так далее.

• 
  
• «Я думала это просто, скажу ребенку, что прибавить один и еще один – значит прибавить два, но не тут-то было. В Лешином мире это не одно и то же. Пришлось долго к этому привыкать. Сделали из пластилина головки животных, налепили их на пешки от старых шахмат и стали в них играть прямо на шахматной доске:
• — Прыгал 1зайчонок, припрыгал еще 1, потом еще 1 – всего прибавилось 2.
• — Шли 3 слоненка, прибежал еще 1, потом еще 1 – всего прибавилось 2!
• Леше игра понравилась. Мы играли с ним в эту и подобные игры довольно долго, до тех пор, пока он четко не осознал, что числа 2 и 3 состоят из единичек».

Углубляемся в математику

Продолжаем учить малыша складывать и вычитать разными способами. Например, предлагая ему в уме представить, что будет, если мы прибавим или вычтем число:

— Здесь три котенка, если тебе подарят еще двоих котят, сколько их станет?

Малышу приходится в уме добавлять к видимым предметам невидимые, что и развивает его вычислительные способности.

Если малыш не понимает, мы не возмущаемся и не критикуем, а упрощаем и упрощаем задание.

Так, если ребенок никак не понимает, что при добавлении одного предмета к четырем, получаем пять предметов, то можно выразить эту мысль еще понятнее:

— У нас четыре котенка, прибежал пятый. Сколько их стало?

Этот простенький прием помогает ребенку осознать, что прибавить один – значит назвать следующее число.

Ориентируемся на число 5

Для более четкого усвоения сложения, вычитания и состава чисел ребенку лучше вначале ориентироваться на число 5. То есть находить, сколько не хватает до 5 или, наоборот, на сколько это число больше 5?

Если числа до 5 большинство детей легко представляют в уме, то числа больше пяти легче представить как сумму чисел, а еще лучше как сумму точек домино.

Сначала как суммы 5 точек с одной стороны и от 1 до 5 точек на второй стороне костяшки.

Сложение и состав числа
Для того чтобы ребенку было легче запомнить, как выглядят суммы чисел до 10 и представить состав каждого числа, снова используем наши математические шарики.
 Например, для того чтобы понять из чего состоит число 5, берем два квадрата и выкладываем на каждом число 5 двумя способами. На одном 3 красных шарика и 2 желтых, а на другом квадрате 1 красный и 4 желтых. Ребенок видит, осознает и запоминает, что 5 состоит из 3 и 2 или из 1 и 4. Теперь можно предложить ребенку самому поэкспериментировать, не сможет ли он найти другие способы разбивки числа 5, например, на 1, 2 и 2.

•  «Оленька любит все одушевлять, и я от нее этому учусь. Даже числа у нас как живые: у них есть братики и сестрички, которые без конца спорят, ссорятся и даже хвастаются.
• — Я, — говорит пятерка, — больше тебя, четверка! Внутри меня помещаются две двойки и единичка, — показывает на шариках пятерка, — а если я захочу, то они в тройку и двойку превратятся.
• — А во мне зато тройка и единичка есть, – показывает на шариках четверка, — а если я захочу, то они в две двойки превратятся, — снова показывает на шариках четверка.
• Тут приходит их мама и говорит, что она их всех одинаково любит, и они зря ссорятся.
• Я обнимаю Оленьку, и мы начинаем играть сначала, я — за пятерку, а она — за четверку».

Можно вместе придумывать забавные задачки, чтобы упражнения на состав числа стали понятнее и интереснее.

•    Поспорили 3 и 4, у кого внутри больше двоек поместится. Давай с помощью шариков поможем им это узнать.
•    У меня для гостей есть 4 пирожных. Сколько я могу пригласить гостей, если я буду им раздавать по одному пирожному, а сколько, если по два пирожных?
•    Мама с медвежатами нашла 5 яблок. Себе мама взяла 2, а медвежатам раздала по одному. Сколько у нее было медвежат?

Ребенку легче всего представить состав числа, как большее число, внутри которого «живут» числа поменьше.
 

• «На шариках и на пальцах Оленька бойко складывала, но почему-то никак не могла сосчитать эти суммы в уме. Тогда мы с ней стали придумывать рифмовки.
• 2 и 3 – будет 5, – это каждый должен знать.
• 3 и 3 – будет 6, – шесть конфет нетрудно съесть.
• 5 и 2 – будет 7, – туфли новые совсем.
• 5 и 3 – будет 8, – запомните, а мы вас спросим.
• 5 и 4 – 4 и 5, – как ни верти, девять опять.
• 5 и 5 – будет 10, не забудь конфеты взвесить.
• Теперь Оленька проверяла рифмовки на пальцах и, наоборот, с помощью пальцев вспоминала рифмовки. Это помогло ей быстрее понять и запомнить все суммы чисел».

Если ребенок понял, «что такое» сумма чисел, но не помнит на память, например, что 2 плюс 3 будет пять, то нам снова поможет наша любимая игра: «Угадай, что я спрятал». Выкладываем на одном квадратике 2 желтых шарика, а на другом 3 красных, причем именно так, как они расположены на домино, точно также на двух других квадратиках выкладываем 1 и 2. Прикрываем обе пары квадратиков. Теперь просим ребенка вспомнить, какое сочетание шариков было на первой паре квадратиков, а какое на второй. Даем ребенку убедиться, что он прав, и снова прикрываем квадратики.

В следующий раз предлагаем вспомнить, сколько всего шариков было на одной из пар.

И, наконец, на очередном занятии ребенок сможет ответить примерно так:

— Спрятаны 2 и 3 — всего 5шариков.

Для сравнения состава чисел больше пяти используем все 4 квадрата. Например, выкладываем на первой паре квадратов 4 и 3 шарика. На одном квадрате — 4, на другом — 3, а на второй паре — 5 и 2 шарика. Ребенок может сравнить эти пары, пересчитать и узнать, что суммы этих чисел равны.

Через некоторое время он начнет в уме представлять суммы этих чисел в виде шариков, расположенных на четырехугольниках и уже не забудет эти образы.

На этом этапе можно ввести в наши занятия эти онлайн-игры. Начинать лучше с игр на сравнение точек (или других предметов) на домино. Одна игра рассчитана на несколько минут занятий и это не представляет существенной угрозы зрению ребенка. Если использовать их вовремя и переходить к каждой следующей игре, только освоив необходимый для игры материал, то интерес ребенка к математике обычно возрастает.

Объяснение вычитания

После того как ребенок научится складывать числа в пределах пяти, можно переходить к вычитанию.

Пусть малыш сам, переставляя шарики по мере необходимости, увидит и осознает свои действия. При этом лучше, чтобы он их комментировал примерно так:

— Чтобы 5 шариков превратились в 3 шарика, я убираю 2 шарика.

На двух наших квадратиках легко показать, что, например: 7 шариков — это 4 и 3 шарика. Ребенок убирает (или прячет) квадратик с 3 шариками, и видит, что остается 4 шарика, и, наоборот, убирает квадратик с 4 шариками, и убеждается, что останется 3 шарика. При этом расположение шариков на квадратиках всегда одинаковое и для лучшего формирования зрительных образов чисел, и для того чтобы ребенка не смущали непреодоленные пока феномены Пиаже. Помните? Дошкольник не уверен, что при изменении расположения шариков, их число
не изменяется.

Большинству детей все новые задания очевидны не сразу, и даже при такой наглядности приходится демонстрировать «появление и исчезновение» шариков не один раз.

Вместо шариков во многих случаях можно использовать обычное детское домино с точками.

На костяшках домино наглядно видно, что одна и та же сумма точек, например, пять, равна «2 и 3» и «4 и 1». В результате ребенку очень легко научиться складывать и вычитать в пределах пяти, а позже — десяти.
 
Это, конечно, не означает, что мы попутно не можем считать предметы, расположенные произвольно. Можно считать и вовсе без предметов, только подразумевая их. Однако когда возникнет сложность, то лучше предложить ребенку представить точки домино, а не считать на пальцах.

Как упоминалось выше, почти все используемые нами игры с домино доступны и висят на данном сайте в виде онлайн-игр.

Если нет желания использовать компьютер,  эти игры можно превратить в настольные, используя обычное домино и карточки с цифрами.

Этот метод обучения счету, сложению и вычитанию отлично работает и с детьми, у которых есть проблемы с обучением математике в младших классах школы.

Мне приходилось встречать восьмилетних учеников первого и даже второго класса, которые совсем не умели складывать и вычитать. И за очень короткий срок они обучались и начинали учиться не хуже своих сверстников. Дело в том, что в математике все взаимосвязано и, не осмыслив хоть какую-то мелочь вначале, человек не может идти дальше. Поэтому я и попробовала сделать такую наглядную арифметику на основе домино, чтобы для непонимания почти не оставалось места.
 

Четные и нечетные числа

Играя с ребенком, мы время от времени обращаем его внимание на то, что некоторые числа можно разделить поровну, а другие нельзя:

— Эти пять (шесть) шариков можно разделить между нами поровну, чтобы у каждого было одинаковое количество шариков?

Иногда просим:

— Дай мне, пожалуйста, половину кубиков.

Когда ребенок, усвоит, что одни числа делятся поровну, а другие не делятся, останется только запомнить, что те числа, которые делятся ровно пополам, называются четными.

Подготовка к сложению и вычитанию однозначных чисел с переходом через десяток

• 
  
• «Сегодня мы с Полиной начали подбираться к сложению однозначных чисел с переходом через десяток. Повторили, как складывать десять с другими числами, а потом обсудили, сколько от 8, 7 и 6 не хватает до десяти. И вдруг у нас получился стишок:
• От 8 до 10 не хватает двойки,
• От 7 до 10 не хватает тройки,
• От 6 до 10 четверки не хватает,
• Очень грустно, если кто-то этого не знает».

Многие малыши с трудом представляют, что происходит с числами, когда мы складываем и вычитаем в пределах 10. Переход к действиям в пределах 20 может оказаться для них еще сложнее, поэтому, как всегда, выделяем и упрощаем отдельные ступени. Сначала учимся находить, сколько не хватает до 10, или, другими словами, сколько нужно прибавить к числу, чтобы получилось 10. Параллельно приучаем ребенка к сложению 10 с числами от 1 до 10. Ребенок не сразу понимает, что первые слоги названия прибавляемого к 10 числа всегда сохраняются, для этого должно пройти время. После того как усвоено сложение, по тому же принципу осваиваем вычитание:

10 + 4 = 14, то есть 14 состоит из 10 и 4. Если мы у 14 заберем 10 то, что останется?
 

Осмысляем счет до 100

Иногда дети считают до 100, но чисто механически. Чтобы ребенок представил, что такое сто единичек, сделаем для него несколько наглядных моделей, например, поезда или змеи.

Наш ребенок уже хорошо представляет число 10, как точки на костяшке домино «5-5». Теперь, даже если мы изобразим десяток точками домино довольно мелко, ребенок все равно скажет нам, что это десять.

Вылепим из пластилина или другой массы для лепки поезд с десятью небольшими вагончиками. На крышу каждого вагончика наносим точки как на костяшке домино «5-5». Чтобы было интересней, можно сказать ребенку, что в каждом вагончике по 10 цыплят и нам необходимо их пересчитать. Цыплят сначала считаем десятками, объясняя, что 2 десятка называются 20, а 3 десятка – 30. После того, как ребенок это запомнит, «прицепляем» следующие вагончики.

Можно десятками в виде точек домино раскрасить и тело пластилинового или глиняного удава. Точки могут означать возраст нашего сказочного удава. Лучше всего, если ребенок сможет вылепить и раскрасить удавов разного возраста сам.

Сложение однозначных чисел с переходом через десяток

«Учимся складывать числа с переходом через десяток с помощью «шариков домино» и «одушевления» действия:

— Захотела восьмерка прибавить к себе пятерочку. Сначала она попросила у пятерочки двойку, чтобы стало десять. После этого от пятерочки осталось три. Теперь 8 и 5 превратились в два других числа. Да, ты правильно догадалась: в10 и 3. Сколько это вместе?

Полина своими руками берет 2 шарика-грибочка у пятерочки и передает их восьмерке, чтобы получилось 10. Затем убеждается, что от пятерки осталась только 3, а 10 и 3 складывать она уже умеет.

Разумеется, сначала приходилось вместе с ней отслеживать порядок сложения, но со временем она привыкла делать это сама».

Для наглядности можно использовать «шарики домино» или нарисовать на бумаге две костяшки домино «5-5» с пустыми кружочками, затем на первой костяшке с помощью цветных кружочков или монет выкладываем первое слагаемое, а на второй костяшке — второе слагаемое. Дальше ребенок перекладывает жетоны и, если может, записывает или выкладывает с помощью цифр и знаков свои действия привычным способом.

8+5 = (8+2)+(5-2) = 10+3=13

Это выражение непростое для ребенка, и, если он затрудняется, нужно поначалу помогать ему наводящими вопросами.

Решение задач

Существуют множество логических загадок и задачек, которые не требуют умения считать, но хорошо развивают мышление ребенка и готовят его к решению математических задач. Например, на умение прослеживать последовательность событий, нахождение различных закономерностей, понимание различия между синонимами и антонимами, выделение главных признаков событий или предметов и многое другое.

Сейчас существует множество литературы на эту тему, поэтому мы не станем их детально обсуждать в этой статье. Напомним лишь, что не стоит заниматься с ребенком только математикой и чтением и упускать другие стороны общего развития.
 

• «Когда Оленьке надоело бегать, мы с ней сели на лавочку и стали друг другу сказки—задачки рассказывать. Я рассказываю:
• — У девочки было две подружки Маша и Даша. Еще у нее было два друга Петя и Вася. Сколько нужно яблок, чтобы угостить всех друзей?
• Оленька пересчитывает всех в уме и радостно сообщает:
• — Четыре яблока! Теперь я, — говорит Оленька. — У девочки было две квартиры, одну она продала. Сколько у нее осталось?
•  Я опешила, понятия не имею, откуда у нее эти мысли».

Очень полезно научить ребенка придумывать задачи. Если не получается просто так, то можно использовать математические картинки, которые в изобилии вставлены в любую книгу по обучению математике для дошкольников.

Для начала предложим ребенку просто «читать» картинку примерно так:

— Было три рыжих котенка. К ним прибежали 2 серых котенка. Сколько всего стало котят?
Можно сформулировать вопрос и посложнее. Сколько блюдечек с молоком нужно приготовить, чтобы напоить всех котят?

Можно ребенку дать и такую подсказку:
— Представь в уме двух рыжих котят. Представил? Хорошо. Теперь представь, как к ним прибежали 2 серых котенка. Видишь, сколько всего теперь котят?

Обычно на маленьких числах такие упражнения не представляют для детей большого труда и дают им понимание, что такое сложение или вычитание.

Еще один способ научить ребенка представлять и понимать задачи — схематически рисовать все, что в ней происходит. Начинать можно с самых простых рисунков, постепенно усложняя их с возрастом.

Практически любой ребенок может нарисовать квадратик, обозначающий ящик, внутри которого расположены несколько кружочков, изображающих фрукты. Пусть в первом ящике 3 груши, а во втором 2. Груши из обоих ящиков пересыпали в третий ящик. Спрашиваем у ребенка, что можно найти, глядя на рисунки. Если не догадался, наводим ребенка на нужный ответ дополнительными вопросами.

Теперь рисуем в одну линию ящик с 3-мя кружочками, знак "+", ящик с 2-мя кружочками знак "=", пустой ящик, на котором знак "?".

Удобнее всего представлять действие задачи вертикальными или горизонтальными полосками.

Изобразим 5 яблок горизонтальной полоской, разделенной по числу яблок на 5 квадратиков.

Если мы от 5 отсыпаем, откладываем, отбираем, т.е. отнимаем (вычитаем) 2 яблока, то можно их для наглядности отгородить линией, которая отделит вычитаемое от начального числа.

Задачи на сравнение, особенно на рост и возраст, удобнее схематически изображать столбиками. Можно пересечь столбики прямой, чтобы ребенок видел, что мы отсекаем от большего меньшее. Это и есть разница между двумя числами.

Подобные задачи зачастую трудны даже для учеников второго класса, поэтому лучше не просить малыша сразу решать такие задачи, а только нарисовать и обсудить по возможности.

Дети замечают, что при сложении мы складываем два числа в одно, а при вычитании мы отделяем нужное нам число от суммы чисел. Все эти действия происходят как бы в одном месте, например, на одной линейке кубиков. В задачах на сравнение проблема в том, что мы имеем два числа, как видит ребенок, в разных местах (и ему хочется их сложить), а как это происходит, что нужно отделять, пользуясь как бы одним из двух чисел, он не всегда понимает.

Легче всего продемонстрировать подобную задачу на башенках из кубиков. Придвигаем меньшее число кубиков к большему и демонстрируем, что мы действительно отделяем не меньшее число, указанное в задаче, а равное ему, которое является частью большего числа:

— Смотри, мы от большего числа кубиков отделяем столько же кубиков, сколько было в меньшем. Видишь, в башенках могло быть кубиков поровну. Но тогда от большей башенки останутся кубики. Это и есть разница, на которую отличается большая башенка от меньшей.

Через какое-то время я предлагаю ребенку самому продемонстрировать ход решения подобных задач.

Легко написать, но, чтобы ребенок это осознал, должно пройти время.

Чтобы у ребенка было меньше шансов запутаться в задачах на сравнение,  лучше осваивать их в три этапа.

1. Из одинаковых кубиков конструктора собираем два столбика разной высоты и предлагаем ребенку сделать их равными.

После этого раскладываем в два ряда на столе другие одинаковые предметы и просим ребенка сделать эти ряды равными.

После нескольких уроков ребенок начинает понимать: для того чтобы столбики или ряды стали равными, нужно убрать лишние кубики или другие предметы (можно, конечно, и добавить, но мы пока не выдаем дополнительных предметов).

2. Теперь мы объясняем ребенку, что именно эти «лишние» кубики (или другие предметы) и есть отличие одного столбика (или ряда) от другого. После этого в течение нескольких уроков мы каждый раз находим эти различия и проговариваем, например, что столбик, состоящий из 5 кубиков, отличается от столбика, состоящего из семи кубиков, на 2 кубика.

3. Дальше как с обычным вычитанием. Больший столбик состоит из меньшего столбика кубиков и кубиков, которые можно назвать «разницей».  Если же мы спрячем «разницу», останется меньший столбик, а если спрячем меньший столбик, то останется «разница» между столбиками. Остается научиться записывать это математическими символами, то есть обычным примером на вычитание.

После того как ребенок привыкнет манипулировать с кубиками и другими предметами, можно придумать разные задачи на сравнение количества предметов, измерение роста, возраста или длины и приучить ребенка пользоваться нашими кубиками как макетами задачи. Со временем заменяем кубики рисунками.

Особенно важно, чтобы ребенок осознал параллель между высотой столбиков из кубиков и возрастом.

— Пусть этот столбик из пяти кубиков будет Петей, ему 5 лет, а этот столбик из 8 кубиков будет Машей, ей 8 лет. Кто из них старше и на сколько? На 3? Правильно, а как это можно записать? … 8 – 3 = 5? Молодец!

Теперь можно предложить ребенку схематически нарисовать эти столбики на бумаге, например, в виде прямоугольников.

Если ребенок может рисовать или решать задачи несколькими верными способами, это очень хорошо и надо поощрять такие опыты.

После того как ребенок немного научился решать те или иные задачи, полезно для памяти на все типы пройденных задач сделать яркие картинки. Но мне захотелось пойти дальше и я сделала онлайн-игры почти на все типы описанных выше задач, которые так и называются: «Веселые задачки».

Так как все математические шарики одинакового веса, то их можно использовать для объяснения и решения задач на взвешивание. Для этого нужно дополнительно иметь обычные детские весы с двумя чашами. Только сначала надо не забыть объяснить ребенку на примерах, что такое «тяжелее» и «легче». Любой ребенок догадается, что взрослый тяжелее малыша, а дальше уже легко перейти к сравнению предметов.

Первые задачи, — это не задачи по сути, а знакомство с новыми понятиями и словами.

— Видишь, я кладу на левую чашку машинку, а на правую — шарики. Чтобы обе чашки оказались на одном уровне, — вот так, — нужно добавить 2 шарика. Так сколько весит машинка? Правильно, два шарика.

— Теперь я на одну чашку кладу грушу, а на другую — сливу. Видишь, чашка с грушей ниже, значит груша тяжелее. Чтобы чашки весов уравновесились, я добавляю к сливе один шарик. На сколько груша тяжелее сливы? Правильно, на один шарик.

Теперь можно условно принять, что наш шарик весит 1 грамм и переходить к любимым детьми играм в магазин. Позже, когда ребенок поймет, что монеты в 2 и 5 рублей равны 2 и 5 монетам по 1 рублю, можно будет показать, что большие шарики весом 5 граммов равны 2 и 5 шарикам по 1 грамму.

Задачи на вес очень важны, так как готовят ребенка к решению уравнений. Пусть ребенок уже сейчас поймет, что вес левой и правой чаши должен быть равен. Для этого он может самостоятельно взвешивать предметы с помощью наших шариков и узнавать, какой из них легче, а какой тяжелее.

Следующая задача сложнее, и ее ребенок сможет понять гораздо позже, чем первую.

— Посмотри: на левую чашку я кладу мишку. Он весит 5 граммов. Теперь на правую чашку посадим крокодильчика с 2 шариками (2 грамма). Раз чаши уравновешены, то, как ты уже знаешь, вес всего, что лежит на чашке слева, равен весу всего, что на чашке справа. Как ты думаешь, сколько весит крокодильчик и два грамма шариков?

Если не догадается, тоже не расстраиваемся, мы ведь помним: то, что очевидно для нас, не всегда очевидно для ребенка. Как обычно, дополнительными вопросами наводим на решение и через несколько занятий мы услышим:

— Крокодильчик и два грамма шариков весят 5 граммов. Надо от 5 граммов отнять 2 грамма — получится 3 грамма. Крокодильчик весит 3 грамма.

Как видим, занятия математикой развивают не только логику, но и речь ребенка.

И снова «феномены Пиаже» и другие проблемы

• «Оленька уже умела складывать и вычитать, узнавала любые наборы точек на домино и на квадратиках с шариками. Знала, что прибавить два — это прибавить один и еще один, и вдруг выяснилось, что она не понимает, что если на домино 5 и 5 равно 10, то это же самое и с пальцами, цифрами, деньгами, и при устном счете.
• Все новые предметы она пересчитывала заново в уме или на пальцах, не понимая, что пять — это всегда пять. Пришлось вернуться назад и снова не один день объяснять ей, что все считается одинаково».

У большинства детей в процессе обучения проявляются «феномены Пиаже», а иногда возникает как бы переполнение информацией, и кажется, что ребенок все забыл или перепутал. В такие моменты лучше сделать паузу и спокойно начинать с того места, где ребенок еще ориентируется. Обычно через короткое время «потерянные» знания возвращаются и становятся более твердыми. Это касается не только математики, но и речи и других сторон развития ребенка.

В этой статье почти нет указаний на продолжительность и точный возраст для изучения каждой темы, так как эти параметры очень индивидуальны и зависят от множества причин. На усвоение математики влияют не только способности, уровень общего развития и умение родителей увлечь ребенка, но и его образ жизни, интересы, умение слышать других людей и идти им навстречу и даже погода за окном во время занятий.

Так прежде, когда довольно маленькие дети сами ходили в магазин за хлебом, молоком или мороженым, счет для них не был такой абстракцией, и они нередко очень рано умели считать не только предметы, но и деньги. Не было компьютеров, и разновозрастные дети играли в детский бильярд и другие игры, требующие подсчета очков. Считать им было необходимо для того, чтобы помочь родителям и для получения заслуженного места в дворовой среде, а не только в школе.

Отсюда мы ставим своей целью не столько научить ребенка считать, сколько заинтересовать его математикой и математической логикой. Мы должны дать еще совсем маленькому ребенку почувствовать, что математика полезна ему самому, а не только взрослым. И мы сможем считать, что ребенок достиг желанного уровня математических навыков только тогда, когда сам начнет искать и находить пути к решению математических задач.

Автор статьи Эмма Птицына.
При перепечатке статьи активная ссылка на сайт http://koshki-mishki.ru обязательна.